刚体定点转动

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刚体绕一固定点的运动。绕固定点转动的刚体只有一点不动,而其余各点则分别在以该固定点为中心的同心球面上运动。支在固定球铰链上的刚体、万向联轴节中的十字头、万向支架中的陀螺转子等,都可以作这种运动。 定点转动的刚体通常用欧拉角ψ、θ、φ来定位。
中文名
刚体定点转动
外文名
rotation of a rigid body about a fixed point

目录

  1. 1 定义

刚体定点转动定义

刚体绕一固定点的运动。绕固定点转动的刚体只有一点不动,而其余各点则分别在以该固定点为中心的同心球面上运动。支在固定球铰链上的刚体、万向联轴节中的十字头、万向支架中的陀螺转子等,都可以作这种运动。定点转动的刚体通常用欧拉角ψ、θ、φ来定位。
刚体的定点转动方程为:
式中t为时间。
达朗伯-欧拉定理  
可表述为:定点转动刚体的任何有限位移可用绕某轴的一次转动来实现,该轴通过刚体的固定点。这个定理是J.le R.达朗伯于1749年,L.欧拉于1750年先后提出的,故得名。说明如下:
以中心在固定点O的任一球面截取刚体的截面图形S(图1)。在刚体的有限位移中,图形内一点由A运动到A1,而另一点由B运动到B1,则大圆弧AA1的中垂面和大圆弧BB1的中垂面的交线OP*就是刚体这一有限位移的转轴。
微小角位移
在短暂的时间间隔△t内,刚体绕轴OP*转过一微小角度Θ,称为角位移。它具有矢量的性质,可按平行四边形规则相加。如用欧拉角定位,则当ψ、θ、φ有微小变化dψ、dθ、dφ时,刚体的微小角位移矢量Θ可表示成:
Θ=dψk+dθn+dφk′=Θxi+Θyj+Θzk,
式中i、j、k为固定轴系Oxyz的单位矢;n、k′为节线和动基轴Oz′的单位矢(图2)。
角速度
Δt趋向于零时,Θ趋于一个极限方向,Θ与Δt之比也趋于一个极限值ω。矢量ω称为刚体在瞬时t的角速度,其数学表达式为:
式中
分别是绕三个欧拉角的轴2、n、z′转动的角速度。Δt→0时转轴OP*所趋于的极限位置OP称为刚体的瞬时轴,在每一瞬时,刚体以角速度ω绕瞬时轴转动。
瞬轴锥面
随着时间的推移,刚体的瞬时轴要改变位置,它在固定空间描出一个锥面,称定瞬轴锥面(即空间极锥的锥面);同时在刚体内部也描出一个锥面,称为动瞬轴锥面(即本体极锥的锥面)。由此可得潘索定理:刚体定点转动可用动瞬轴锥面在定瞬轴锥面上的纯滚动来代替。
在定瞬轴锥面上,刚体的角速度矢ω的端点E描出的曲线称为ω矢端图(图3)。
角加速度
作定点转动的刚体角速度ω通常是变量。角速度变化 Δω与对应时间间隔Δt的比值当Δt→0时所趋至的极限值ε称为刚体在瞬时t的角加速度,其数学表达式为:
可以把
视为ω矢端E沿矢端图运动的速度。
里瓦斯公式  
定点转动刚体内任一点Q的速度v和加速度a的公式,它们是:
v=ω×ra=a1+a2=ε×r+ω×v
式中r为点Q的矢径;a1=ε×r为旋转加速度,沿着(εr)平面的法线,一般并不和速度v共线;a2=ω×v为向轴加速度,恒垂直并指向瞬时轴(图4),但不是沿点Q轨迹的主法线。
下面以分析碾盘的定点转动为例作一说明。 如图5所示,碾盘在固定水平面上绕固定点 O作无滑动的匀速滚动。碾盘和水平底盘相接触之点P┡的速度为零。OP是瞬轴,定瞬轴锥面是圆锥AOP,动瞬轴锥面是圆锥P'OB。角速度矢ω的端点E具有线速度u=ε,沿轴Ox‘正向。碾盘上B点的速度vB平行于轴Ox’,加速度aB=aB1+aB2a垂直于OBOx'所在平面,而aB2垂直并指向瞬时轴OP[1] 
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参考资料
  • 1.    吕茂烈.《中国大百科全书》74卷(第一版)力学 词条:刚体定点转动:中国大百科全书出版社,1987 :164页
词条标签:
中国力学学会 理学 力学